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$ y = \sin^3( x ) = ( \sin{x} )^3 $の微分
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積の微分でやると
\begin{align}
y' &= \{ ( \sin{x} )^3 \}' \\
& 掛け算に分けて \\
&= \{ ( \sin{x}) ( \sin{x})^2 \}' \\
& 積の微分 片方微分・片方そのまま＋片方そのまま・片方微分\\
&= ( \sin{x}) '( \sin{x})^2 + ( \sin{x}) \{ ( \sin{x})^2 \}' \\
& 前半の微分を実行\\
&= ( \cos{x}) ( \sin{x})^2 + ( \sin{x}) \{ \ ( \sin{x})( \sin{x})\ \}' \\
& 後半、積の微分\\
&= ( \cos{x}) ( \sin{x})^2 + ( \sin{x}) \{ \ ( \sin{x})'\ \sin{x} + \sin{x}\ ( \sin{x})'\ \} \\
& 後半の微分を実行\\
&= ( \cos{x}) ( \sin{x})^2 + ( \sin{x}) \{ \ \cos{x} \sin{x} + \sin{x} \cos{x} \ \} \\
& 同じものをまとめて\\
&= ( \cos{x}) ( \sin{x})^2 + ( \sin{x}) \{ \ 2 \cos{x} \sin{x} \ \} \\
& 掛け算もまとめて\\
&= ( \cos{x}) ( \sin{x})^2 + 2( \cos{x})( \sin{x})^2 \\
& まとめて\\
&= 3( \cos{x}) ( \sin{x})^2 \\
&= 3 \cos{x} \sin^2{x}
\end{align}
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