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\begin{align}
\int_{x=aから}^{x=bまで} (微分後) \ dx \quad
= \quad
\Bigl[ 微分前 \Bigr]_{x=aから}^{x=bまで}
\end{align}
- 掛け算の積分
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よくある間違い
\begin{align}
\int_{x=0}^{x=1} x \, e^{2x} \ dx
\neq
\left[ {x^2 \over 2} {e^{2x}\over 2} \right]_{x=0}^{x=1}
\end{align}
足し算の積分は積分して足せばよかったけど、
掛け算の積分も積分を掛け算していいのでしょうか？？
右辺の中身を微分して、左辺の中身になるのでしょうか？
右辺の中身を微分すると
\begin{align}
\left( {x^2 \over 2} {e^{2x}\over 2} \right)'
&= \left( {x^2 \over 2} \right)' {e^{2x}\over 2} + {x^2 \over 2} \left( {e^{2x}\over 2} \right)' \\
&= \quad x \cdot {e^{2x}\over 2} \quad + {x^2 \over 2} \cdot e^{2x} \\
&= \quad { x+ x^2 \over 2} \cdot e^{2x}
\end{align}
左辺の中身の$ x \, e^{2x} $ にならないですね。
掛け算の積分は、それぞれ積分して掛けたのではだめということがわかるね
これもそうだよね
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\begin{align}
\int_{x=0から}^{x=1まで} x \cdot x \ dx
\neq
\left[ {x^2 \over 2} {x^2 \over 2} \right]_{x=0}^{x=1}
\end{align}
本当は
\begin{align}
\int_{x=0から}^{x=1まで} x^2 \ dx
=
\left[ {x^3 \over 3} \right]_{x=0}^{x=1}
\end{align}
ですよね。
ではどうすれば、掛け算の積分ができる？
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