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フォントが小さいですが 積分範囲は $0$ から$\displaystyle {\pi \over 2}$までです
$\displaystyle \int_{x=0}^{x={\Large \pi \over 2}} x \, \sin{(2x)} dx$
まず「掛け算の積分だ」と思ったら、
掛け算つながりで「掛け算の微分」の式を書いて、
全部の項に積分記号をつけて部分積分の式を作ります。
$f=x, g'=\sin{(2x)}$ だけでなく $g$ までメモするのがポイントです。
多くの人は $g'$とだけ書いて、実際に使うときに
「頭の中で暗算で」積分してしまうため、
後半の1つ目の$g$ は正しく書いても
後半2つめの$g$ のところにうっかり $g'$の方を書いてしまったりします。
そして「凡ミス」とか言って自分を甘やかしてしまうの。
目に見えるように書いてあれば、
$g$ のところに $g$ を代入するだけだから間違えないし速いです。
一度自分で書いてみればわかるけど、結構、幅を使いますよね。
あまり大きい字でゆったり書いていると１行に入らなくなります。
$\displaystyle \int_{x=0}^{x=1} x \, e^{3x} dx$
フォントが小さいですが以下２つは 積分範囲は $0$ から$\displaystyle {\pi \over 6}$までです
$\displaystyle \int_{x=0}^{x={\Large \pi \over 6}} x \, \cos{(3x)} dx$
解答例
$\displaystyle \int_{x=0}^{x={\Large \pi \over 6}} x^2 \, \cos{(3x)} dx$
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