- $ y = \sqrt{ x^2 +x +1 } $の微分
-
\begin{array}{ll}
u &= x^2 +x +1 \\
y &= \sqrt{ u }
\end{array}
という、２本の簡単な式に書き換え
\begin{align}
{dy \over dx } = {dy \over du } { du \over dx}
\end{align}
の右辺をそれぞれ計算します。
\begin{align}
{dy \over du }
&= {d \over du }(\sqrt{u} )
\end{align}
ここで出てくる ${d \over du } $とは「直後に来るものを$u$で微分する」という意味です。
前に書かれたものは微分しません。
$\sqrt{u}$ の微分は 課題４の結果より
\begin{align}
{dy \over du }
&= {d \over du }(\sqrt{u} ) \\
\\
&= {1 \over 2\sqrt{u} } \\
\end{align}
ということがわかっていますし、あるいは
$\sqrt{u}$ を
$u^{1\over 2}$ と考えて
\begin{align}
{dy \over du }
&= {d \over du }u^{1\over 2}\\
\\
&= {1\over 2}u^{-{1\over 2}}
\end{align}
と考えてもＯＫです。
後半は簡単にできますね。
\begin{align}
{du \over dx }
&= {d \over dx }( x^2 +x +1 ) = 2 x + 1 + 0
\end{align}
代入すると
\begin{align}
{dy \over dx } &= {dy \over du } { du \over dx}\\
\\
&= {1 \over 2\sqrt{u} } \cdot ( 2 x + 1 )
\end{align}
後半の式には（ ）が必要です。ないと、+1 に前半の値が掛け算されなくなってしまいます。
まとめて
\begin{align}
{dy \over dx }= { 2 x + 1 \over 2\sqrt{u} }
\end{align}
$u$を戻して
\begin{align}
{dy \over dx }= { 2 x + 1 \over 2\sqrt{ x^2 +x +1} }
\end{align}
これで完成です。
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